教學(xué)的主體是學(xué)生，因此，教學(xué)永遠(yuǎn)應(yīng)該貼近學(xué)生學(xué)的起點(diǎn)。而學(xué)的起點(diǎn)往往與教學(xué)目標(biāo)之間有一定的距離，因此，基于起點(diǎn)的教學(xué)，就有了低就、接近、高攀這三種不同的層次。教師的智慧，在于能否準(zhǔn)確把握，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效。
一、低就學(xué)習(xí)起點(diǎn)——走近兒童
二年級(jí)有一個(gè)《認(rèn)識(shí)角》的課例，為了真實(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，我布置前置作業(yè)“找找生活中的角”，全班學(xué)生都想到了三角板。對(duì)于三角板上的角，大家有三種不同的觀點(diǎn)：


圖1 圖2 圖3
針對(duì)學(xué)生這一起點(diǎn)，我在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了角的特征后增加了如下設(shè)計(jì)：
（1）剛才已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了角的特征，再看三角板，你還認(rèn)為三角板就是一個(gè)角嗎？為什么？
（感受三角形是一個(gè)圍起來的圖形，而角只有2條邊，無法圍起來，所以不是“角”。）
（2）三角板上有沒有角？如果有，在哪里？
（從實(shí)物中抽象出3個(gè)角。引導(dǎo)學(xué)生感悟到“角是由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊組成的圖形”，和它的開口方向、邊的長(zhǎng)短都沒有關(guān)系。）



（3）觀察三角板中的三個(gè)角，你還有什么發(fā)現(xiàn)？
（故意把角的邊畫得長(zhǎng)短不一，給學(xué)生造成視覺誤差；有實(shí)物作為視覺經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生看出下面2個(gè)角是一樣大的。由此產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的矛盾并引發(fā)出角的大小比較，產(chǎn)生“重合比較”的需要，凸顯了“角的大小要看兩條邊張開的大小，與邊的長(zhǎng)短無關(guān)”的教學(xué)難點(diǎn)。）
在這個(gè)課例中，學(xué)生把實(shí)物與抽象的幾何圖形混為一談，這在低年級(jí)學(xué)生身上是經(jīng)常能看到的。很多學(xué)習(xí)素材往往就是這樣：生活中隨處可見，其中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的影子，但這個(gè)影子并不等同于數(shù)學(xué)。生活中的實(shí)物，是學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，而數(shù)學(xué)知識(shí)必須在此基礎(chǔ)上加以抽象，需要一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程。兩者之間的聯(lián)系，能成為最有價(jià)值的教學(xué)資源。走近兒童熟悉的生活世界，容易調(diào)動(dòng)起學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，并由此展開探索與思考，逐步接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，得到的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)本身，更是一種對(duì)學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的肯定，有利于鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角尋找、思考、甄別，逐步健全對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。
二、接近學(xué)習(xí)起點(diǎn)——尊重兒童
四年級(jí)教學(xué)《認(rèn)識(shí)平行》，課前讓學(xué)生嘗試畫平行線，很多學(xué)生畫出了形如“=”的兩條直線。為什么會(huì)如此“不約而同”？
“平行”在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)中有很多可供參考的實(shí)例，比如練習(xí)本上的橫條、直尺上對(duì)應(yīng)的兩邊等。所以，與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)接近的平行線實(shí)例就是“=”。調(diào)查了孩子們的想法，他們主要是基于以下的思考：
1.“平行線”是對(duì)稱的，所以應(yīng)該畫得一樣長(zhǎng)。
2.平時(shí)看到的都是“橫”的線。
3. 兩條直線只要沒有“碰”到就是平行關(guān)系。
4. 先畫一條邊，看看差不多寬，再畫另一條邊，很容易畫。
這些想法真實(shí)的反映了學(xué)生的起點(diǎn)，它們與數(shù)學(xué)上的要求已經(jīng)很接近了，教學(xué)就應(yīng)該從這里出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的思考與研究：
1.生活中能用眼睛看見的，一律都是線段；直線僅僅存在于想象中。所以，之前認(rèn)識(shí)直線時(shí)，不僅要注意線段與直線畫法的區(qū)別，更要讓學(xué)生充分想象“無限延長(zhǎng)”，為本課認(rèn)識(shí)平行線打好基礎(chǔ)。
2.學(xué)生習(xí)慣畫“橫”的線，但“橫線”并不是它的本質(zhì)特征，所以，老師在示范的時(shí)候要抓住概念的核心思想，而不僅僅是從形式上去理解，要注意“去表象”。
3. “碰到”或是“沒碰到”不能只憑“看到”。因?yàn)橹本�具有無限延長(zhǎng)的可能，所以，可以根據(jù)需要去延長(zhǎng)；只要兩線之間的距離不等，就必將會(huì)在延長(zhǎng)后的某處相交，也就不平行了。所以，平行又可以理解為兩線之間的距離處處相等。“寬度差不多”是對(duì)平行線最樸素、最有價(jià)值的想法。所以，老師千萬別以傳統(tǒng)的“一畫、二靠、三移、四畫”來束縛孩子。一方面要洞悉孩子的想法，給予肯定；另一方面也要提供反例，讓孩子親眼看到“直接畫”后產(chǎn)生較為明顯的誤差，以此來促使學(xué)生尋找新的可靠的方法，同時(shí)也能促進(jìn)學(xué)生更進(jìn)一步的理解“平行線”。
4.相比“不相交”與“距離處處相等”，究竟哪個(gè)才是最有價(jià)值的判斷依據(jù)？這就需要“同一平面”這一前提條件。很多時(shí)候都有一些默認(rèn)條件，比如“所有的半徑都相等”默認(rèn)的前提“等圓”，如果一定要加上前提，反而會(huì)覺得矯情。但在平行線這一課里，就是要讓學(xué)生區(qū)別“同一平面”與“不同平面”。在二維的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)里強(qiáng)調(diào)三維的空間，教師要意識(shí)到這是學(xué)生認(rèn)識(shí)的難點(diǎn)，所以，需要多借鑒生活中的一些實(shí)例，讓數(shù)學(xué)與兒童真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)近些、再近些。
用“=”表現(xiàn)平行線的圖像特征，這是學(xué)生最直接的反應(yīng)，這就是學(xué)生的起點(diǎn)，在教學(xué)中，應(yīng)給予充分的利用，這是一種對(duì)兒童原有認(rèn)知的尊重。尊重，會(huì)喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，激發(fā)起學(xué)生探究的興致。教學(xué)時(shí)，應(yīng)從此處出發(fā)，由表及里，既順應(yīng)學(xué)生的起點(diǎn)，更尊重?cái)?shù)學(xué)，努力挖掘其最根本的內(nèi)核，找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，從而正確建構(gòu)相關(guān)概念。
三、“高攀”學(xué)習(xí)起點(diǎn)——發(fā)展兒童
在教學(xué)中，常會(huì)遇到學(xué)生已經(jīng)“懂了”、“會(huì)了”的現(xiàn)象，感覺學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)很高了，那這時(shí)的教學(xué)又該如何開展？
什么是圓柱？一年級(jí)的孩子已經(jīng)會(huì)辨認(rèn)，生活中隨處可見圓柱的實(shí)物，用長(zhǎng)方形紙隨便一卷就可以變出一個(gè)圓柱，……。在六年級(jí)學(xué)生的眼里，圓柱是“早就知道”的東西。為了不僅從知識(shí)層面，更是從方法層面發(fā)展兒童，我采用了另一種教學(xué)方式。
1.師示范（長(zhǎng)方形小旗）：這是一個(gè)——長(zhǎng)方形，你能用它變出一個(gè)圓柱嗎？（交流后用課件演示其旋轉(zhuǎn)的完整過程。）
[六人小組，每組發(fā)一個(gè)底面直徑6厘米，高10厘米的圓柱。課件出示3個(gè)不同規(guī)格的長(zhǎng)方形：3×10,6×10,3×20（厘米）。]
小組討論：桌上的圓柱可以用哪個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)得到？為什么？
全班交流達(dá)成共識(shí)：長(zhǎng)方形那組3厘米的邊旋轉(zhuǎn)時(shí)是圓柱底面的半徑，長(zhǎng)方形那組10厘米的邊是圓柱的高，所以選擇3×10這個(gè)長(zhǎng)方形。（見圖1）

2.還是這個(gè)長(zhǎng)方形，能不能得到不同的圓柱呢？學(xué)生交流想法后演示圖2。



思考：為什么同一個(gè)長(zhǎng)方形，卻得到了兩個(gè)完全不一樣的圓柱？
發(fā)現(xiàn)：繞不一樣的邊旋轉(zhuǎn)，得到圓柱的半徑和高不一樣，所以圓柱大小不一樣。也就是說，決定圓柱大小的條件就是“半徑”和“高”。
3.想象：用6×10這個(gè)長(zhǎng)方形分別可以旋轉(zhuǎn)出來怎樣大的圓柱？想象，再觀看演示，和你想的一樣嗎？
……
結(jié)束全課：（畫面回到最初的長(zhǎng)方形）看到這個(gè)長(zhǎng)方形，你現(xiàn)在能想到什么？（生：圓柱體）演示：通過前后平移，得到了一個(gè)長(zhǎng)方體。
在這個(gè)教學(xué)片斷中，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)都是伴隨著已有的知識(shí)基礎(chǔ)，在動(dòng)態(tài)演示中生成、在想象中不斷完善。每一個(gè)環(huán)節(jié)都有出人意料之處：平面的長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)出了立體的圓柱；同一個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)出大小不同的圓柱；以為長(zhǎng)方形只能旋轉(zhuǎn)出圓柱，卻通過平移變出了長(zhǎng)方體；……。認(rèn)識(shí)圓柱，看似在學(xué)生已經(jīng)都會(huì)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)上，是一種“高攀”，但設(shè)計(jì)的獨(dú)特與深刻，牢牢吸引了學(xué)生的注意，思維不斷的走向深入，得到了很好的發(fā)展。
總有一部分孩子在課前就認(rèn)為“我已經(jīng)會(huì)了”，這是好事。但要把好事做好，卻很不容易。這不僅需要教師明白學(xué)生的起點(diǎn)在哪里，更需要清楚要把學(xué)生引向哪里去。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較理想的路徑就是借助舊知來認(rèn)識(shí)新知，這樣既溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，又互相印證了特征，達(dá)到優(yōu)化認(rèn)知的目的，發(fā)展了學(xué)生的思維。
教學(xué)活動(dòng)，是師生共同發(fā)展的過程。在這個(gè)過程中，教師需要敏銳的捕捉兒童學(xué)的起點(diǎn)，并和課標(biāo)要求相對(duì)照，尋找之間的平衡；不管是低就、接近還是高攀，最終的目的都只有一個(gè)：幫助學(xué)生掌握知識(shí)、習(xí)得方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想。